Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{0;-1\}$ thỏa mãn điều kiện $f(1)=2\ln 2$ và $x(x+1)f^{\prime }(x)+f(x)=x^2+3x+2$. Giá trị $f(2)=a+b\ln 3$, với $a,b\in \mathbb{Q}$. Tính $a^2+b^2$.

Ta có $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$. Chia hai vế cho $(x+1{)}^2$:
$\frac{x}{x+1}{f}^{\prime }(x)+\frac{1}{(x+1{)}^2}f(x)=\frac{x+2}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}$.
Nhận thấy vế trái chính là đạo hàm của $\frac{x}{x+1}f(x)$:
${\left[\frac{x}{x+1}f(x)\right]}^{\prime }=1+\frac{1}{x+1}$.
Lấy nguyên hàm hai vế:
$\frac{x}{x+1}f(x)=\int \left(1+\frac{1}{x+1}\right)dx=x+\ln |x+1|+C$.
Theo giả thiết $f(1)=2\ln 2$, thay $x=1$ vào:
$\frac{1}{2}f(1)=1+\ln 2+C⟺\ln 2=1+\ln 2+C⟺C=-1$.
Do đó với $x>0$:
$\frac{x}{x+1}f(x)=x+\ln (x+1)-1$.
Thay $x=2$ vào:
$\frac{2}{3}f(2)=2+\ln 3-1=1+\ln 3⟺f(2)=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\ln 3$.
Suy ra $a=\frac{3}{2}$ và $b=\frac{3}{2}$.
Vậy $a^2+b^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}+\frac{9}{4}=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$. Chọn B.