Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và hàm số $y=f^{\prime }(2x+1)$ có bảng xét dấu như sau:

Hỏi có bao nhiêu số nguyên $m\in [-2023;2023]$ để hàm số $y=g(x)=f\left(|x^{2023}+2023x|+m\right)$ có ít nhất $5$ điểm cực trị?

Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(2x+1)$ suy ra $f^{\prime }(2x+1)$ đổi dấu tại $x\in \left\{-1;0;\frac{1}{2}\right\}$, do đó hàm số $f(u)$ có $3$ điểm cực trị là $u=-1,u=1,u=2$.
Nhận xét: hàm số $g(x)=f\left(|x^{2023}+2023x|+m\right)$ là hàm số chẵn nên $g(x)$ có ít nhất $5$ điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số $g(x)=f(x^{2023}+2023x+m)$ có ít nhất $2$ điểm cực trị dương.
Xét trên $(0;+\infty )$, ta có $g^{\prime }(x)=(2023x^{2022}+2023)f^{\prime }(x^{2023}+2023x+m)=0\iff x^{2023}+2023x\in \{-1-m;1-m;2-m\}$.
Vì hàm số $h(x)=x^{2023}+2023x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ với $h(0)=0$ và ${\lim }_{x\to +\infty }h(x)=+\infty$, đồng thời $-1-m<1-m<2-m$, nên $g^{\prime }(x)=0$ có ít nhất $2$ nghiệm dương bội lẻ khi và chỉ khi $1-m>0\iff m<1$.
Kết hợp $m\in [-2023;2023]$ và $m\in \mathbb{Z}$ ta có $m\in \{-2023;-2022;\dots ;0\}$, tức là có $2024$ giá trị nguyên của $m$. Chọn C.