Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $(0;+\infty )$, có đồ thị như hình vẽ đồng thời thỏa mãn $f^{\prime }(x)-\frac{1}{x^2}{f}^{\prime }\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{5}{18}\left(1-\frac{1}{x^2}\right),\forall x>0$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\frac{f(x)-(x-1{)}^2}{x}$ và $y=0$ bằng

Từ đồ thị $y=f(x)$ đi qua $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{4}\right)$ và $(2;1)$, phương trình $\frac{f(x)-(x-1{)}^2}{x}=0\iff f(x)=(x-1{)}^2$ có hai nghiệm $x=\frac{1}{2}$ và $x=2$, đồng thời trên $\left(\frac{1}{2};2\right)$ ta có $f(x)\ge (x-1{)}^2$.
Khi đó diện tích cần tìm là $S={\int }_{1/2}^2\frac{f(x)}{x}dx-{\int }_{1/2}^2\left(x-2+\frac{1}{x}\right)dx=A-B$.
Ta có $B={\left(\frac{x^2}{2}-2x+\ln x\right)|}_{1/2}^2=-\frac{9}{8}+2\ln 2$.
Tích phân từng phần cho $A$:
$A={\int }_{1/2}^{2}f(x)d(\ln x)={f(x)\ln x|}_{1/2}^2-{\int }_{1/2}^2{f}^{\prime }(x)\ln xdx=\frac{5}{4}\ln 2-{\int }_{1/2}^2{f}^{\prime }(x)\ln xdx$.
Nhân hai vế hệ thức giả thiết với $\ln x$ rồi lấy tích phân từ $\frac{1}{2}$ đến $2$, bằng phép đổi biến $t=\frac{1}{x}$ suy ra:
${\int }_{1/2}^2-\frac{1}{x^2}{f}^{\prime }\left(\frac{1}{x}\right)\ln xdx={\int }_{1/2}^2{f}^{\prime }(x)\ln xdx$.
Do đó $2{\int }_{1/2}^2{f}^{\prime }(x)\ln xdx=\frac{5}{18}{\int }_{1/2}^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\ln xdx=\frac{5}{18}(5\ln 2-3)\Rightarrow {\int }_{1/2}^2{f}^{\prime }(x)\ln xdx=\frac{25}{36}\ln 2-\frac{5}{12}$.
Suy ra $A=\frac{5}{4}\ln 2-\left(\frac{25}{36}\ln 2-\frac{5}{12}\right)=\frac{5}{9}\ln 2+\frac{5}{12}$.
Vậy $S=A-B=\left(\frac{5}{9}\ln 2+\frac{5}{12}\right)-\left(-\frac{9}{8}+2\ln 2\right)=\frac{37}{24}-\frac{13}{9}\ln 2$.