Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, $(SAB)$ vuông góc với đáy $(ABC)$ và tam giác $SAB$ đều, khoảng cách từ điểm $A$ tới mặt phẳng $(SCB)$ bằng $\frac{2\sqrt{15}}{5}a$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ là

Gọi $H,M$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$; gọi $K$ là trung điểm của $BM\Rightarrow HK\perp BM$.
Vì $△SAB$ đều và $(SAB)\perp (ABC)$ nên $SH\perp (ABC)$.
Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $SK\Rightarrow HI\perp (SBC)$, do đó:
$HI=d(H,(SBC))=\frac{1}{2}d(A,(SBC))=\frac{\sqrt{15}}{5}a$.
Đặt $AB=x\Rightarrow SH=AM=\frac{x\sqrt{3}}{2}$ và $HK=\frac{1}{2}AM=\frac{x\sqrt{3}}{4}$.
Áp dụng hệ thức lượng trong $△SHK$ vuông tại $H$:
$\frac{1}{H{I}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{K}^2}\iff \frac{25}{15a^2}=\frac{4}{3x^2}+\frac{16}{3x^2}=\frac{20}{3x^2}\iff x=2a$.
Vậy thể tích khối chóp là $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot \frac{x^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{x\sqrt{3}}{2}=\frac{x^3}{8}=a^3$.