Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$, $f(0)=3$ và đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ để hàm số $g(x)=|2f(x)+x^2-2mx+2m|$ đồng biến trên $(0;1)$?

Đặt $h(x)=2f(x)+x^2-2mx+2m\Rightarrow h^{\prime }(x)=2[f^{\prime }(x)+x-m]$.
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ là hàm bậc ba đạt cực trị tại $x=\pm 1$ với $f^{\prime }(0)=0,f^{\prime }(1)=-1$, ta có $f^{\prime }(x)=\frac{x^3-3x}{2}$.
Xét hàm số $p(x)=f^{\prime }(x)+x=\frac{x^3-x}{2}$ trên $(0;1)$, có $p^{\prime }(x)=\frac{3x^2-1}{2}=0\iff x=\frac{1}{\sqrt{3}}\in (0;1)$.

Trên $(0;1)$ ta có $-\frac{\sqrt{3}}{9}\le p(x)<0$.
Hàm số $g(x)=|h(x)|$ đồng biến trên $(0;1)$ khi và chỉ khi xảy ra một trong hai trường hợp:
- TH1: $\{\begin{array}{l}h(0)=6+2m\ge 0\\ h^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in (0;1)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\ge -3\\ m\le {\min }_{[0;1]}p(x)=-\frac{\sqrt{3}}{9}\end{array}\iff -3\le m\le -\frac{\sqrt{3}}{9}$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-3;-2;-1\}$.
- TH2: $\{\begin{array}{l}h(0)=6+2m\le 0\\ h^{\prime }(x)\le 0,\forall x\in (0;1)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\le -3\\ m\ge {\max }_{[0;1]}p(x)=0\end{array}$ (vô nghiệm).
Vậy có $3$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là $m\in \{-3;-2;-1\}$.