Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z^2-iz|=|\overline{z^2}-\bar{z}i|$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z-2-i|+|z-3-2i|$ bằng

Ta có $|\overline{z^2}-\bar{z}i|=|\overline{z^2+iz}|=|z^2+iz|$, nên giả thiết tương đương:
$|z^2-iz|=|z^2+iz|\iff |z|\cdot |z-i|=|z|\cdot |z+i|\iff [\begin{array}{l}z=0\\ |z-i|=|z+i|\end{array}$.
Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $z$, khi đó $M\equiv O(0;0)$ hoặc $M$ thuộc trục hoành $Ox:y=0$ (hoặc nếu lấy đối xứng qua trục ảo theo biến đổi trong lời giải gốc thì $\min P=\sqrt{10}$).
Xét hai điểm $C(2;1)$ và $D(3;2)$, gọi $C^{\prime }$ là điểm đối xứng với $C$ qua đường thẳng chứa $M$ (cụ thể đối xứng qua trục $Oy:x=0$ được $C^{\prime }(-2;1)$ hoặc qua trục $Ox:y=0$ được $C^{\prime }(2;-1)$), ta có:
$P=MC+MD=M{C}^{\prime }+MD\ge C^{\prime }D=\sqrt{(3-2{)}^2+(2-(-1){)}^2}=\sqrt{10}$ (nhỏ hơn $\sqrt{5}+\sqrt{13}$ khi $z=0$).
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\sqrt{10}$.