Cho hàm số $y=f(x)=x^3+b{x}^2+cx+2$ đạt cực trị bằng $0$ tại $x=1$ (với $b$ và $c$ là hằng số).

c) Đúng: $f^{\prime }(x)=3x^2+2bx+c$.
Từ $f(1)=0$ và $f^{\prime }(1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}b+c=-3\\ 2b+c=-3\end{array}\iff b=0,c=-3\Rightarrow f(x)=x^3-3x+2$.
a) Đúng: $f(2)=8-6+2=4$ nên đồ thị đi qua $I(2;4)$.
b) Sai: Đường thẳng qua hai điểm cực trị $(1;0)$ và $(-1;4)$ là $2x+y-2=0\Rightarrow d(O,d)=\frac{2}{\sqrt{5}}$.
d) Sai: Hai điểm cực trị là $A(1;0),B(-1;4)\Rightarrow AB=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}\ne 5\sqrt{2}$.