Cho hàm số $y=f(x)$ xác định, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f^2(-x)=(x^2+2x+4)f(x+2)$ và $f(x)\ne 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm có hoành độ $x=2$ là

Chọn C.
Thay $x=-2$ vào đẳng thức: $f^2(2)=(4-4+4)f(0)=4f(0)$.
Thay $x=0$ vào đẳng thức: $f^2(0)=4f(2)$.
Từ đó suy ra $f(2)=4$ và $f(0)=4$.
Lấy đạo hàm hai vế của phương trình $f^2(-x)=(x^2+2x+4)f(x+2)$:
$-2f(-x)f^{\prime }(-x)=(2x+2)f(x+2)+(x^2+2x+4)f^{\prime }(x+2).$
Thay $x=-2$ và $x=0$, kết hợp hệ phương trình đạo hàm tìm được $f^{\prime }(2)=2$.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=2$ là:
$y=f^{\prime }(2)(x-2)+f(2)=2(x-2)+4=2x.$
Vậy phương trình tiếp tuyến là $y=2x$.