Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $2f(f(\cos 3x))-m-1=0$ có năm nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[0;\frac{3\pi }{2}\right]$?

Ta có $2f(f(\cos 3x))-m-1=0\iff f(f(\cos 3x))=\frac{m+1}{2}$.
Đặt $t=\cos 3x$ với $x\in \left[0;\frac{3\pi }{2}\right]$.
Đồ thị của hàm số $t=\cos 3x$ trên đoạn $\left[0;\frac{3\pi }{2}\right]$:

Từ đồ thị, với mỗi $t\in (-1;0)\cup (0;1)$ cho đúng số nghiệm tương ứng.
Kết hợp với bảng biến thiên của $f(x)$, để phương trình có đúng $5$ nghiệm phân biệt thuộc $\left[0;\frac{3\pi }{2}\right]$, giá trị $\frac{m+1}{2}$ phải thỏa mãn:
$$-1<\frac{m+1}{2}\le 1\iff -2<m+1\le 2\iff -3<m\le 1$$
Các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là $m\in \{-1;0\}$ (gồm $2$ giá trị nguyên).
Chọn đáp án C.