Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x^3+3x-1)$.



Hàm số $y=f(x^2-2x)$ có bao nhiêu điểm cực đại?

Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x^3+3x-1)$, nghiệm bội lẻ của $f^{\prime }(u)=0$ tương ứng với $x\in \{-1;1;3\}$, tức là $u\in \{-5;3;35\}$, với $f^{\prime }(u)>0$ trên $(-5;3)\cup (35;+\infty )$. Xét $g(x)=f(x^2-2x)$, có $g^{\prime }(x)=(2x-2)f^{\prime }(x^2-2x)$. Giải $g^{\prime }(x)=0\iff x=1$ hoặc $x^2-2x=3\iff x\in \{-1;3\}$ hoặc $x^2-2x=35\iff x\in \{1-6;1+6\}=\{-5;7\}$. Lập bảng xét dấu $g^{\prime }(x)$ qua $5$ nghiệm đơn $-5,-1,1,3,7$, ta thấy $g^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm tại $2$ điểm, nên hàm số có $2$ điểm cực đại.