Cho hàm số $y=\frac{x^2+3x+6}{x+2}$ có đồ thị là $(C)$.

Ta có $y=x+1+\frac{4}{x+2}$ với tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$, và $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x+2{)}^2}=\frac{x(x+4)}{(x+2{)}^2}$.
- a) Sai: Hàm số không xác định tại $x=-2\in (-3;-1)$ nên nghịch biến trên từng khoảng $(-3;-2)$ và $(-2;-1)$, không nghịch biến trên $(-3;-1)$.
- b) Sai: Giao điểm hai tiệm cận là $I(-2;-1)$. Với $M\left(-2+t;t-1+\frac{4}{t}\right)$, tiếp tuyến tại $M$ cắt tiệm cận đứng tại $A\left(-2;-1+\frac{8}{t}\right)$ và cắt tiệm cận xiên tại $B(-2+2t;-1+2t)$. Ta có $IA=\frac{8}{|t|}$, $IB=2\sqrt{2}|t|$, tích $IA\cdot IB=16\sqrt{2}$ và góc $\widehat{AIB}=45^{\circ }$ hoặc $135^{\circ }$, nên chu vi nhỏ nhất không bằng $4+6\sqrt{2}$.
- c) Sai: Hai điểm cực trị của $(C)$ là $A(-4;-7)$ và $B(0;3)$, suy ra $AB=\sqrt{4^2+10^2}=\sqrt{116}=2\sqrt{29}\ne 5\sqrt{2}$.
- d) Đúng: Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }[y-(x+1)]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x+2}=0$ nên đường thẳng $y=x+1$ là tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$.