Cho hàm số $y=\frac{x^3}{3}-(m-1)x^2+3(m-1)x+1$. Số các giá trị nguyên của $m$ để hàm số đồng biến trên $(1;+\infty )$ là

Ta có: $y^{\prime }=x^2-2(m-1)x+3(m-1)$.

Ycbt $\iff x^2-2(m-1)x+3(m-1)\ge 0,\forall x\in (1;+\infty )$.

${\Delta }^{\prime }=[-(m-1){]}^2-3(m-1)=m^2-5m+4$.

Trường hợp 1: ${\Delta }^{\prime }\le 0\iff m^2-5m+4\le 0\iff m\in [1;4]$. Ta được $4$ giá trị nguyên của $m$.

Trường hợp 2: ${\Delta }^{\prime }>0\iff m^2-5m+4>0\iff [\begin{array}{l}m<1\\ m>4\end{array}$. Khi đó phương trình $x^2-2(m-1)x+3(m-1)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1<x_2\le 1$

$\iff \{\begin{array}{l}(x_1-1)+(x_2-1)<0\\ (x_1-1)(x_2-1)\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}(x_1+x_2)-2<0\\ x_1{x}_2-(x_1+x_2)+1\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2(m-1)-2<0\\ 3(m-1)-2(m-1)+1\ge 0\end{array}\iff 0\le m<2$.

Kết hợp với điều kiện ta được $0\le m<1$. Khi đó có $1$ giá trị nguyên của $m$.

Vậy có $5$ giá trị nguyên của $m$.