Cho hàm số $y=x^3+3mx\sqrt{x^2+1}$ với $m$ là tham số thực. Đồ thị của hàm số đã cho có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?


Đạo hàm $y^{\prime }=3x^2+3m\sqrt{x^2+1}+\frac{3m{x}^2}{\sqrt{x^2+1}}=3\left(x^2+\frac{m(2x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}}\right)$. Đặt $t=\sqrt{x^2+1}\ge 1$, phương trình $y^{\prime }=0$ quy về xét tương giao của hàm số bậc hai/phân thức theo $t$. Khảo sát chi tiết đồ thị cho thấy phương trình $y^{\prime }=0$ có tối đa 3 nghiệm đơn đổi dấu, do đó hàm số có tối đa 3 điểm cực trị.


Chọn C.