Số các giá trị nguyên của tham số $m\in [0;2023]$ để phương trình $2^{x-2+\sqrt[3]{m-3x}}+(x^3-6x^2+9x+m)2^{x-2}=2^{x+1}+1$ có đúng 1 nghiệm là

Đặt $u=\sqrt[3]{m-3x}$ và $v=x-2$. Phương trình đưa về dạng hàm đặc trưng $f(t)=2^t+t^3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Suy ra $u=-v\iff \sqrt[3]{m-3x}=2-x\iff m-3x=(2-x{)}^3=8-12x+6x^2-x^3\iff m=-x^3+6x^2-9x+8$. Khảo sát hàm số $h(x)=-x^3+6x^2-9x+8$, ta có $h^{\prime }(x)=-3x^2+12x-9=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Giá trị cực tiểu $h(1)=4$, cực đại $h(3)=8$. Để phương trình có đúng 1 nghiệm thì $m>8$ hoặc $m<4$. Vì $m\in [0;2023]$ nguyên nên $m\in \{0,1,2,3\}\cup \{9,10,\dots ,2023\}$, có $4+(2023-9+1)=2019$ giá trị. Chọn B.