Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+x+4}{x+1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+x+4}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ nên ý d đúng.

a) $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+4)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x^2+3x+1-x^2-x-4}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}$ $\Rightarrow$ đúng.

b) $f(x)=6\iff x^2+x+4=6x+6\iff x^2-5x-2=0$, phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt (vì $\Delta =25+8=33>0$), không phải 4 nghiệm $\Rightarrow$ sai.

c) $y^{\prime }=0\iff x=-3$ hoặc $x=1$. $f(-3)=\frac{9-3+4}{-2}=-5$ (cực đại trên nhánh $x<-1$), $f(1)=\frac{6}{2}=3$ (cực tiểu trên nhánh $x>-1$). Trên $(-\infty ;-1)$: đồng biến rồi nghịch biến, giới hạn tại $-\infty$ và $-1^{-}$ đều là $-\infty$; trên $(-1;+\infty )$: nghịch biến rồi đồng biến, giới hạn tại $-1^{+}$ là $+\infty$. Bảng biến thiên trong đề khớp hoàn toàn $\Rightarrow$ đúng.

d) Hàm số xác định khi $x+1\ne 0$, tức $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ $\Rightarrow$ đúng.
a) $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+4)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}$.
b) $f(x)=6\iff x^2-5x-2=0$ có đúng 2 nghiệm phân biệt ($\Delta =33>0$), không phải 4 nghiệm.
c) $y^{\prime }=0$ tại $x=-3$ (cực đại $y=-5$) và $x=1$ (cực tiểu $y=3$); các giới hạn và chiều biến thiên khớp bảng biến thiên đã cho.
d) Điều kiện $x+1\ne 0$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.