Cho hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ nằm ở hai mặt phẳng khác nhau. Gọi $M$ là trọng tâm $△ABE$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt $(ADF)$. Lấy $N$ là giao điểm của $(P)$ và $AC$. Chứng minh:
a) $EFDC$ là hình thap b) $FD//EC$ c) $(ADF)//(BCE)$. d) $\frac{AN}{NC}=\frac{2}{3}$

(AI giải đề cho tôi)
Giải chi tiết Câu 15 (Bài 13 – Phần 3):

a) EFDC là hình thang:
Vì ABCD là hình bình hành nên DC // AB và DC = AB. Vì ABEF là hình bình hành nên EF // AB và EF = AB. Suy ra EF // DC và EF = DC. Tứ giác EFDC có cặp cạnh đối EF, DC song song (và bằng nhau) nên EFDC là hình thang (thực chất là hình bình hành, là trường hợp đặc biệt của hình thang).

b) FD // EC:
Tứ giác EFDC có EF // DC và EF = DC (chứng minh ở a) nên EFDC là hình bình hành. Do đó hai đường chéo... chính xác hơn hai cạnh đối FD và EC song song: FD // EC.

c) (ADF) // (BCE):
Ta có: AD // BC (vì ABCD là hình bình hành) mà AD ⊂ (ADF), BC ⊂ (BCE).
Lại có FD // EC (chứng minh ở b) mà FD ⊂ (ADF), EC ⊂ (BCE).
Trong mặt phẳng (BCE), BC và EC là hai đường thẳng cắt nhau tại E; tương tự AD và FD cắt nhau tại D trong (ADF). Theo định lí về điều kiện song song của hai mặt phẳng, suy ra (ADF) // (BCE).

d) AN/NC = 2/3:
Vì ABEF là hình bình hành nên AF // BE. Hai mặt phẳng (ADF) và (ABEF) có chung hai điểm A, F nên giao tuyến của chúng là AF.
Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với (ADF), nên giao tuyến (P) ∩ (ABEF) là đường thẳng ℓ đi qua M và song song với AF (do đó ℓ // BE).
Trong mặt phẳng (ABEF), gọi K là giao điểm của ℓ với AB. Vì ℓ // BE, áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác ABE với M là trọng tâm (AM cắt BE tại trung điểm I của BE, MI = (1/3)·đường trung bình... cụ thể: đường thẳng qua trọng tâm M song song với BE cắt AB tại K thì AK/AB = 2/3 — vì M nằm trên trung tuyến AI với AM = (2/3)AI, đường thẳng qua M song song BE nên AK = (2/3)AB).
Vậy K ∈ AB với AK = (2/3)AB và K ∈ (P).
Xét mặt phẳng (ABCD): (ADF) ∩ (ABCD) = AD, nên (P) ∩ (ABCD) là đường thẳng d đi qua K và song song với AD. Đường thẳng d nằm trong (ABCD), cắt AC tại N (chính là N = (P) ∩ AC).
Trong mặt phẳng (ABCD), vì KN // AD, áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác ACD (hoặc xét tam giác với đường thẳng song song):
AN/AC = AK/AB = 2/3.
Suy ra AN/NC = 2/3. Đpcm.

Kiểm tra: M = (1/3)(AB→ + AE→) không thuộc (ADF) nên (P) tồn tại duy nhất và khác (ADF); mọi kết luận a, b, c, d đều đúng.