Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Côsin của góc giữa hai vecto $\overrightarrow{SM}$ và $\overrightarrow{CB}$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Đặt cạnh bằng $a$. Trong mặt phẳng đáy, lấy hệ trục với $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, tâm đáy $O\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0\right)$. Vì $SA=a$ nên $SO=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}$, do đó $S\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$, $M$ trung điểm $CD$ là $M\left(\frac{a}{2};a;0\right)$.
Ta có $\overrightarrow{SM}=\left(0;\frac{a}{2};-\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$, $\overrightarrow{CB}=(0;-a;0)$.
$\overrightarrow{SM}\cdot \overrightarrow{CB}=-\frac{a^2}{2}$; $|\overrightarrow{SM}|=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$; $|\overrightarrow{CB}|=a$.
Vậy $\cos (\overrightarrow{SM},\overrightarrow{CB})=\frac{-a^2/2}{a\cdot a\sqrt{3}/2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.