Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB=4a,BC=3\sqrt{2}a,\widehat{ABC}=45^{\circ };\widehat{SAC}=\widehat{SBC}=90^{\circ }$; sin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ bằng $\frac{\sqrt{2}}{4}$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng:

Ta có $\widehat{SAC}=\widehat{SBC}=90^{\circ }$ nên 4 điểm $S,A,B,C$ cùng thuộc mặt cầu đường kính $SC$. Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2AB\cdot BC\cos 45^{\circ }=16a^2+18a^2-2(4a)(3\sqrt{2}a)\frac{\sqrt{2}}{2}=34a^2-24a^2=10a^2\Rightarrow AC=a\sqrt{10}$. Dựa vào điều kiện góc giữa $(SAB)$ và $(SBC)$ xác định được chiều cao và đường kính mặt cầu $SC$, từ đó suy ra bán kính mặt cầu $R=\frac{a\sqrt{183}}{12}$.

Chọn A.