Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$. Biết $SA=a\sqrt{3},AB=a$. Tính độ dài đoạn thẳng $HC$ theo $a$.

[Hình cần kiểm tra lại: p9_f1]

Ta có $BC\perp AB$ (Vì $ABC$ vuông tại $B$) (1)

$BC\perp SA$ (Vì $SA\perp (ABC)$) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BC\perp (SAB)$.

Ta có $AH\perp SB$ (theo giả thiết) (3)

$$\{\begin{array}{l}BC\perp (SAB)\\ AH\in (SAB)\end{array}\Rightarrow BC\perp AH(4)$$

Từ (3) và (4) suy ra $AH\perp (SBC)\Rightarrow AH\perp HC$ hay tam giác $AHC$ vuông tại $H$.

Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao nên $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{4}{3a^2}\Rightarrow A{H}^2=\frac{3a^2}{4}$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=2a^2$.

Do đó $HC=\sqrt{A{C}^2-A{H}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.