Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Vì $\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,577<\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707$. Với $a>0$, so sánh $a^{\frac{\sqrt{3}}{3}}>a^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ với hai số mũ khác nhau: nếu $a>1$ thì hàm số mũ đồng biến nên phải có $a^{\frac{\sqrt{3}}{3}}<a^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ (mâu thuẫn); do đó phải có $0<a<1$. Mệnh đề đúng.

b) Đúng. ${\log }_a{b}^3=3{\log }_{a}b$; ${\log }_{a^2}{b}^6=\frac{6{\log }_{a}b}{{\log }_a{a}^2}=\frac{6{\log }_{a}b}{2}=3{\log }_{a}b$. Vậy $Q=3{\log }_{a}b+3{\log }_{a}b=6{\log }_{a}b$. Mệnh đề đúng.

c) Đúng. Hàm số $y=\frac{e^x}{\ln |x-1|}$ xác định khi $|x-1|>0$ (tức $x\ne 1$) và $\ln |x-1|\ne 0$ (tức $|x-1|\ne 1$, tức $x\ne 0$ và $x\ne 2$). Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{0;1;2\}$. Mệnh đề đúng.

d) Sai. Điều kiện $x>1$. Phương trình ${\log }_3(x+6)={\log }_3(x-1)+1\iff x+6=3(x-1)\iff 2x=9\iff x=\frac{9}{2}=4,5$ (thỏa mãn điều kiện). Trong khi đó giao điểm của $d_1:2x-y-8=0$ với $d_2:y=0$ là $2x-8=0\iff x=4\ne 4,5$. Mệnh đề sai.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\sqrt{3}}{3}<\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $a^{\frac{\sqrt{3}}{3}}>a^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ nên hàm mũ phải nghịch biến, tức $0<a<1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_a{b}^3=3{\log }_{a}b$ và ${\log }_{a^2}{b}^6=\frac{6}{2}{\log }_{a}b=3{\log }_{a}b$, tổng bằng $6{\log }_{a}b$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cần $x\ne 1$ và $\ln |x-1|\ne 0\iff x\ne 0,x\ne 2$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{0;1;2\}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình cho $x=\frac{9}{2}=4,5$, còn giao điểm của $d_1$ với $d_2:y=0$ có hoành độ $x=4\ne 4,5$.