Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=a,SB=2a,SC=4a$ và $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}=60^{\circ }$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $a$.

Chọn D.
Lấy điểm $D$ trên cạnh $SB$ sao cho $SD=a$ và điểm $E$ trên cạnh $SC$ sao cho $SE=a$.
Khi đó tứ diện $S.ADE$ là tứ diện đều cạnh $a$, thể tích là $V_{S.ADE}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.
Áp dụng tỉ số thể tích:
$$\frac{V_{S.ADE}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA}{SA}\cdot \frac{SD}{SB}\cdot \frac{SE}{SC}=1\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{8}.$$
Do đó:
$$V_{S.ABC}=8V_{S.ADE}=8\cdot \frac{a^3\sqrt{2}}{12}=\frac{2a^3\sqrt{2}}{3}.$$