Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC,CD,SD$. Gọi $I$ là giao điểm của đường thẳng $SA$ và $(MNP)$. Biết tỷ số $\frac{IS}{IA}=\frac{a}{b}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Giá trị $a+2b$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $C(1;1;0)$, $S(0;0;h)$. Khi đó $M(1;\frac{1}{2};0)$, $N(\frac{1}{2};1;0)$, $P(0;\frac{1}{2};\frac{h}{2})$.

Ta có $\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2};0\right)$, $\overrightarrow{MP}=\left(-1;0;\frac{h}{2}\right)$. Vectơ pháp tuyến của $(MNP)$: $\vec{n}=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}=\left(\frac{h}{4};\frac{h}{4};\frac{h}{2}\right)$, suy ra phương trình mặt phẳng $(MNP)$: $hx+hy+2z=\frac{3}{2}h$ (kiểm tra: thay $M(1;\frac{1}{2};0)$ cho $h+\frac{h}{2}=\frac{3}{2}h$ đúng).

Điểm $I$ trên đường thẳng $SA$ có dạng $I(0;0;th)$. Thay vào phương trình mặt phẳng: $2th=\frac{3}{2}h\Rightarrow t=\frac{3}{4}$, tức $I\left(0;0;\frac{3}{4}h\right)$ nằm trong đoạn $SA$.

Suy ra $IS=h-\frac{3}{4}h=\frac{1}{4}h$ và $IA=\frac{3}{4}h$, nên $\frac{IS}{IA}=\frac{1}{3}$. Vậy $a=1,b=3$ và $a+2b=1+6=7$, khớp với đáp án nguồn (đáp án câu 18, mã đề 1101 là 7).