Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $CD$, $P$ là trung điểm cạnh $SA$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $MN$ là đoạn nối trung điểm của $AB$ và $CD$, do đó $MN\parallel AD\parallel BC$.

a) $MN\parallel BC$ với $BC\subset (SBC)$ và $MN\not\subset (SBC)$ (vì $M\in AB$, $N\in CD$ không nằm trong mặt phẳng $(SBC)$), nên $MN\parallel (SBC)$. Đúng.

b) $MN\parallel AD$ với $AD\subset (SAD)$ và $MN\not\subset (SAD)$, nên $MN\parallel (SAD)$. Đúng.

c) Trong tam giác $SAB$, $P$ là trung điểm $SA$, $M$ là trung điểm $AB$ nên $PM\parallel SB$. Vì $PM\subset (MNP)$ và $SB\not\subset (MNP)$ nên $SB\parallel (MNP)$, tức $SB$ KHÔNG cắt mặt phẳng $(MNP)$. Sai.

d) Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A(0;0;0),B(2;0;0),D(0;2;0),C(2;2;0),S(s;t;u)$ với $u\ne 0$. Khi đó $M(1;0;0),N(2;1;0),P(\frac{s}{2};\frac{t}{2};\frac{u}{2})$. Vectơ pháp tuyến của $(MNP)$: $\vec{n}=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}=(1;1;0)\times (\frac{s}{2}-1;\frac{t}{2};\frac{u}{2})=(\frac{u}{2};-\frac{u}{2};\frac{t-s+2}{2})$. Với $C(2;2;0)$: $\overrightarrow{MC}=(1;2;0)$, tích vô hướng $\vec{n}\cdot \overrightarrow{MC}=\frac{u}{2}-u=-\frac{u}{2}\ne 0$. Vậy $C$ không thuộc $(MNP)$ và $SC$ không song song với mặt phẳng, do đó $SC$ cắt mặt phẳng $(MNP)$. Đúng.

Kết luận: a đúng, b đúng, c sai, d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$MN\parallel BC$ (đoạn nối trung điểm), $BC\subset (SBC)$, $MN\not\subset (SBC)$ nên $MN\parallel (SBC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$MN\parallel AD$ (đoạn nối trung điểm), $AD\subset (SAD)$, $MN\not\subset (SAD)$ nên $MN\parallel (SAD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$PM$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ nên $PM\parallel SB$, với $PM\subset (MNP)$, $SB\not\subset (MNP)$, suy ra $SB\parallel (MNP)$, không cắt.
d) (AI giải đề cho tôi)
Dùng tọa độ kiểm tra: $\vec{n}\cdot \overrightarrow{MC}=-\frac{u}{2}\ne 0$ nên $SC$ không song song và không nằm trong $(MNP)$, do đó $SC$ cắt $(MNP)$.