Cho hai mặt phẳng $(P),(Q)$ cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $d$. Đường thẳng $a$ song song với cả hai mặt phẳng $(P),(Q)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\parallel (P)$ nên $a$ không có điểm chung với $(P)$ (hoặc $a\subset (P)$); tương tự với $(Q)$. Giả sử $a$ cắt $d$ tại điểm $M$. Vì $d\subset (P)$ và $d\subset (Q)$ nên $M\in (P)$ và $M\in (Q)$, suy ra $a$ có điểm chung với $(P)$ và với $(Q)$, mâu thuẫn với $a$ song song cả hai mặt phẳng. Vậy $a$ và $d$ không cắt nhau, không trùng nhau. Hai đường thẳng không cắt nhau và không trùng nhau thì hoặc song song hoặc chéo nhau. Nếu $a,d$ chéo nhau thì tồn tại mặt phẳng chứa $d$ và song song với $a$; nhưng mọi mặt phẳng chứa $d$ đều cắt $(P)$ theo $d$... Cách chứng minh chuẩn: lấy mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $a$ và cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$. Vì $a\parallel (P)$ nên $a\parallel b$; do $a,d$ không cắt nhau và $b\subset (P)$, $d\subset (P)$ nên $b\parallel d$ hoặc $b\equiv d$. Từ đó $a\parallel d$ (vì $a\parallel b$, $b\parallel d$, $a$ không nằm trong $(P)$). Thực chất: $a$ không thể chéo với $d$ vì nếu chéo thì qua $d$ có mặt phẳng song song với $a$, nhưng mọi mặt phẳng chứa $d$ đều cắt $(P)$ (hoặc trùng $(P)$) theo giao tuyến qua $d$, dẫn đến mâu thuẫn. Kết luận: $a\parallel d$. Vậy mệnh đề a) sai, b) sai, c) đúng, d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $a\equiv d$ thì $a\subset (P)$ và $a\subset (Q)$, khi đó $a$ không song song với $(P)$ theo nghĩa đường thẳng song song mặt phẳng (phải không có điểm chung). Mâu thuẫn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a$ song song với cả $(P)$ và $(Q)$, $a$ không có điểm chung với $(P),(Q)$, mà $d\subset (P)\cap (Q)$, nên $a$ không cắt $d$. Nếu $a,d$ chéo nhau thì qua $d$ tồn tại mặt phẳng song song với $a$; nhưng mặt phẳng đó cắt $(P)$ theo giao tuyến đi qua $d$, khi đó giao tuyến này song song với $a$ và nằm trong $(P)$, suy ra $a$ song song với đường thẳng trong $(P)$ đi qua $d$, từ đó suy ra $a\parallel d$, không chéo nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Lấy mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $a$, $(\alpha )$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$. Vì $a\parallel (P)$ nên $a\parallel b$. Trong $(\alpha )$: nếu $b$ cắt $d$ tại $M$ thì $M\in (P)\cap (Q)=d$, và $M\in b\subset (\alpha )$... hơn nữa $M\in (P)$ nên $a$ không qua $M$. Vì $a\parallel b$ và $d$ cắt $b$ trong $(P)$, ta chứng minh được $a\parallel d$: giả sử $a$ không song song $d$, vì $a,d$ không cắt nhau (do $a$ không có điểm chung với $(P)$ chứa $d$) nên $a,d$ chéo nhau; nhưng đường thẳng $b\subset (P)$ với $b\parallel a$ và $b$ cắt $d$ (nếu $b\parallel d$ thì $a\parallel d$, xong). Vậy luôn có $a\parallel d$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $a$ cắt $d$ tại $M$ thì $M\in (P)$ và $M\in (Q)$, suy ra $a$ có điểm chung với $(P)$, mâu thuẫn với $a\parallel (P)$. Vậy $a,d$ không cắt nhau.