Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$, $I$ là trung điểm cạnh $SC$. Xét các mệnh đề:
(I). Đường thẳng $IO$ song song $SA$.
(II). Mặt phẳng $(IBD)$ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo thiết diện là một tứ giác.
(III). Giao điểm của đường thẳng $AI$ và mặt phẳng $(SBD)$ là trọng tâm tam giác $SBD$
(IV). Giao tuyến hai mặt phẳng $(IBD)$ và $(SAC)$ là $OI$.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với $I$ là trung điểm $SC$, $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ (nên $O$ là trung điểm $AC$ và $BD$).

(I) Trong tam giác $SAC$: $I$ là trung điểm $SC$, $O$ là trung điểm $AC$, nên $IO$ là đường trung bình, suy ra $IO\parallel SA$. Mệnh đề (I) đúng.

(II) Mặt phẳng $(IBD)$: $B,D$ thuộc đáy, $I$ thuộc cạnh $SC$. Thiết diện gồm: đoạn $IB$ trong mặt $(SBC)$, đoạn $ID$ trong mặt $(SDC)$ và đoạn $BD$ trong đáy. Vậy thiết diện là tam giác $IBD$, không phải tứ giác. Mệnh đề (II) sai.

(III) Trong mặt phẳng $(SAC)$, gọi $G=AI\cap SO$. Vì $AI$ và $SO$ là hai đường trung bình của tam giác $SAC$ (trung điểm từ $A$ và từ $S$), $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$, nên $\frac{SG}{GO}=2$. Mặt khác, trọng tâm tam giác $SBD$ cũng nằm trên trung tuyến $SO$ và chia $SO$ theo tỉ số $\frac{S{G}^{\prime }}{G^{\prime }O}=2$ (vì $O$ là trung điểm $BD$). Do đó $G^{\prime }\equiv G$: giao điểm của $AI$ và $(SBD)$ chính là trọng tâm tam giác $SBD$. Mệnh đề (III) đúng.

(IV) $O\in BD\subset (IBD)$ và $O\in (SAC)$; $I\in (IBD)\cap (SAC)$. Vậy giao tuyến của $(IBD)$ và $(SAC)$ là $OI$. Mệnh đề (IV) đúng.

Số mệnh đề đúng là 3 (các mệnh đề I, III, IV).