Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB//CD$, $AB=2CD$. Gọi $M$ và $P$ theo thứ tự là các điểm nằm trên các cạnh $AD$ và $SC$ sao cho $\frac{MA}{MD}=\frac{PS}{PC}=x$. Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $MP$ và song song với $SA$, cắt các cạnh $SD$ và $BC$ lần lượt tại $N$ và $Q$. Tim $x$ sao cho diện tích tứ giác $MNPQ$ bằng $\frac{2025}{3376}$ lần diện tích tam giác $SAB$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ toạ độ affine gốc $A$, $\vec{b}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{d}=\overrightarrow{AD}$, $\vec{s}=\overrightarrow{AS}$. Vì $AB\parallel CD$, $AB=2CD$ nên $\overrightarrow{AC}=\vec{d}+\frac{1}{2}\vec{b}$.

Từ $\frac{MA}{MD}=\frac{PS}{PC}=x$ (với $x>0$): $M=\frac{x\vec{d}}{1+x}$, $P=\frac{\vec{s}+x\vec{d}+\frac{x}{2}\vec{b}}{1+x}$, suy ra $\overrightarrow{MP}=\frac{\vec{s}+\frac{x}{2}\vec{b}}{1+x}$ (không có thành phần theo $\vec{d}$).

Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M,P$ song song $SA$: các điểm $M+\lambda \overrightarrow{MP}+\mu \vec{s}$.

- $N\in SD$: $N=(1-t)\vec{s}+t\vec{d}$. So sánh hệ số theo $\vec{b}$ (buộc $\lambda =0$) cho $t=\frac{x}{1+x}$, tức $\frac{SN}{SD}=\frac{x}{1+x}$ và $\overrightarrow{MN}=\frac{\vec{s}}{1+x}\parallel \overrightarrow{SA}$ (đúng điều kiện $(\alpha )\parallel SA$).

- $Q\in BC$: $Q=v\vec{d}+\left(1-\frac{v}{2}\right)\vec{b}$. So sánh hệ số theo $\vec{d}$: $v=\frac{x}{1+x}$, tức $\frac{BQ}{BC}=\frac{x}{1+x}$; hệ số theo $\vec{b}$ cho $\lambda =\frac{x+2}{x}$ (luôn giải được với $x>0$), $\mu$ tương ứng luôn tồn tại. Vậy $\overrightarrow{NQ}=\frac{\frac{x+2}{2}\vec{b}-\vec{s}}{1+x}$.

Diện tích tứ giác $MNPQ$ (hai đường chéo $MP$, $NQ$): $S_{MNPQ}=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{NQ}\right|$.
$$\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{NQ}=\frac{1}{(1+x{)}^2}\left(\vec{s}+\frac{x}{2}\vec{b}\right)\times \left(\frac{x+2}{2}\vec{b}-\vec{s}\right).$$
Khai triển: $\vec{s}\times (-\vec{s})=\vec{0}$; $\vec{s}\times \frac{x+2}{2}\vec{b}=\frac{x+2}{2}(\vec{s}\times \vec{b})$; $\frac{x}{2}\vec{b}\times \frac{x+2}{2}\vec{b}=\vec{0}$; và $\frac{x}{2}\vec{b}\times (-\vec{s})=-\frac{x}{2}(\vec{b}\times \vec{s})=+\frac{x}{2}(\vec{s}\times \vec{b})$. Tổng hệ số: $\frac{x+2}{2}+\frac{x}{2}=x+1$, nên
$$\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{NQ}=\frac{x+1}{(1+x{)}^2}(\vec{s}\times \vec{b})=\frac{\vec{s}\times \vec{b}}{1+x}.$$

Vì $S_{SAB}=\frac{1}{2}|\vec{s}\times \vec{b}|$ nên $\frac{S_{MNPQ}}{S_{SAB}}=\frac{1}{1+x}$.

Kiểm tra với $x=1$ bằng toạ độ cụ thể $A=(0,0,0)$, $B=(2,0,0)$, $D=(0,1,0)$, $C=(1,1,0)$, $S=(0,0,1)$: $M=(0,0.5,0)$, $N=(0,0.5,0.5)$, $P=(0.5,0.5,0.5)$, $Q=(1.5,0.5,0)$ (trung điểm $BC$). Khi đó $S_{MNPQ}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{NQ}|=0.5$ và $S_{SAB}=1$, tỉ số $=\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1}$ — xác nhận công thức $\frac{1}{1+x}$.

Giải $\frac{1}{1+x}=\frac{2025}{3376}\Rightarrow 1+x=\frac{3376}{2025}\Rightarrow x=\frac{1351}{2025}\approx 0,6672$.

Với $x\approx 0,67>0$ thì $\frac{SN}{SD}=\frac{BQ}{BC}=\frac{x}{1+x}\approx 0,40\in (0;1)$, nên $N\in SD$, $Q\in BC$ — điều kiện hình học thỏa mãn.

Vậy $x\approx 0,67$ (làm tròn đến hàng phần trăm).