Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và $AC=a$. Biết tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy; góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng đáy bằng $60^0$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $SC$ bằng

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, vì $△SAB$ cân tại $S$ và $(SAB)\perp (ABCD)$ nên $SH\perp (ABCD)$. Đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ có $AC=a$ nên $△ABC$ đều cạnh $a$, suy ra $\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Trong $△AHD$ có $AH=\frac{a}{2},AD=a,\widehat{HAD}=120^{\circ }$, theo định lí côsin: $H{D}^2=\frac{a^2}{4}+a^2-2\cdot \frac{a}{2}\cdot a\cos 120^{\circ }=\frac{7a^2}{4}\Rightarrow HD=\frac{a\sqrt{7}}{2}$. Góc giữa $SD$ và đáy là $\widehat{SDH}=60^{\circ }\Rightarrow SH=HD\tan 60^{\circ }=\frac{a\sqrt{21}}{2}$. Vì $AD\parallel BC$ nên $d(AD,SC)=d(AD,(SBC))=d(A,(SBC))=2d(H,(SBC))$. Tính khoảng cách từ $H$ đến $(SBC)$ ta được $d(AD,SC)=\frac{a\sqrt{609}}{29}$. Theo bảng đáp án chính thức trang 7 (Mã đề 201), chọn B.