Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SD$.
a) Chứng minh rằng $(OMN)\parallel (SBC)$.
b) Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,ON$. Chứng minh $PQ\parallel (SBC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Phần IV): Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD.

a) Chứng minh (OMN) // (SBC):

Xét tam giác SAD: M là trung điểm SA, N là trung điểm SD nên MN là đường trung bình của tam giác SAD, suy ra $MN\parallel AD$. Vì ABCD là hình bình hành nên $AD\parallel BC$, do đó $MN\parallel BC$. Mà $BC\subset (SBC)$, $MN\not\subset (SBC)$ nên $MN\parallel (SBC)$.

Xét tam giác SAC: O là tâm hình bình hành ABCD nên O là trung điểm AC; M là trung điểm SA. Suy ra OM là đường trung bình của tam giác SAC, nên $OM\parallel SC$. Mà $SC\subset (SBC)$, $OM\not\subset (SBC)$ nên $OM\parallel (SBC)$.

Trong mặt phẳng (OMN), hai đường thẳng MN và OM cắt nhau tại M, đồng thời cùng song song với mặt phẳng (SBC). Theo định lí về điều kiện song song của hai mặt phẳng, ta có:
$$(OMN)\parallel (SBC).$$

b) P, Q lần lượt là trung điểm của AB, ON. Chứng minh PQ // (SBC):

Chọn hệ vectơ: $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Khi đó:
- $\overrightarrow{AO}=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}$ (tâm hình bình hành),
- $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{s}}{2}$, $\overrightarrow{AN}=\frac{\vec{s}+\vec{d}}{2}$,
- $\overrightarrow{AP}=\frac{\vec{b}}{2}$,
- $\overrightarrow{AQ}=\frac{\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AN}}{2}=\frac{\vec{b}+\vec{s}+2\vec{d}}{4}$.

Suy ra:
$$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}=\frac{\vec{b}+\vec{s}+2\vec{d}}{4}-\frac{\vec{b}}{2}=\frac{\vec{s}+2\vec{d}-\vec{b}}{4}.$$

Ta có $\overrightarrow{SB}=\vec{b}-\vec{s}$ và $\overrightarrow{BC}=\vec{d}$, nên:
$$\overrightarrow{PQ}=\frac{-(\vec{b}-\vec{s})+2\vec{d}}{4}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{SB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$$

Vậy $\overrightarrow{PQ}$ là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ $\overrightarrow{SB},\overrightarrow{BC}$ không đồng phẳng, tức $\overrightarrow{PQ}\parallel (SBC)$. Mặt khác P nằm trên AB mà AB cắt mặt phẳng (SBC) tại B, P ≠ B nên $P\notin (SBC)$, do đó $PQ\not\subset (SBC)$.

Kết luận: $PQ\parallel (SBC)$. $■$