Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Gọi là điểm thuộc cạnh sao cho . Gọi là trung điểm của cạnh .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
b) Tìm giao điểm của CH và mặt phẳng (SAD).
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Gọi là điểm thuộc cạnh sao cho . Gọi là trung điểm của cạnh .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
b) Tìm giao điểm của CH và mặt phẳng (SAD).
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
b) Tìm giao điểm của CH và mặt phẳng (SAD).
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật, SH = 1/3 SB, E là trung điểm SA.
a) Ta có E ∈ SA ⊂ (SAB), H ∈ SB ⊂ (SAB) nên EH ⊂ (SAB). Trong mặt phẳng (SAB), đường thẳng EH cắt đường thẳng AB tại I (EH không song song AB vì SE/EA = 1 và SH/HB = 1/2 không bằng nhau). Tính vị trí điểm I: đặt hệ vectơ với S là gốc, A = a, B = b thì E = a/2, H = b/3. Điểm trên EH: a/2 + t(b/3 − a/2); điểm trên AB: a + u(b − a). So sánh hệ số: (1−t)/2 = 1−u và t/3 = u, giải ra t = −3, u = −1. Vậy I nằm trên tia đối của tia AB qua A với AI = AB (tức A là trung điểm IB). Khi đó I ∈ EH ⊂ (CHE) và I ∈ AB ⊂ (ABD), lại có C ∈ (CHE) ∩ (ABD). Vậy giao tuyến của (CHE) và (ABD) là đường thẳng CI.
b) Tìm giao điểm K của CH và (SAD). Dùng vectơ: S là gốc, A = a, B = b, D = d, do ABCD là hình chữ nhật nên C = b + d − a. Điểm trên CH: (1−t)C + tH = (1−t)(b + d − a) + (t/3)b. Để điểm thuộc (SAD) = mặt phẳng qua S tạo bởi a, d thì hệ số của b phải bằng 0: (1−t) + t/3 = 0 ⟹ t = 3/2. Khi đó K = −1/2(d − a) = (a − d)/2, tức K nằm trên đường thẳng AD, phía ngoài đoạn AD về phía A, với AK = 1/2 AD (A nằm giữa K và D). Vậy giao điểm của CH và (SAD) là điểm K trên tia đối của tia AD qua A sao cho AK = 1/2 AD.
Kiểm tra lại: với t = 3/2, K = (1 − 3/2)C + (3/2)H = −1/2(b + d − a) + (3/2)(b/3) = −b/2 − d/2 + a/2 + b/2 = (a − d)/2, đúng thuộc mặt phẳng (SAD) vì là tổ hợp của a và d.
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật, SH = 1/3 SB, E là trung điểm SA.
a) Ta có E ∈ SA ⊂ (SAB), H ∈ SB ⊂ (SAB) nên EH ⊂ (SAB). Trong mặt phẳng (SAB), đường thẳng EH cắt đường thẳng AB tại I (EH không song song AB vì SE/EA = 1 và SH/HB = 1/2 không bằng nhau). Tính vị trí điểm I: đặt hệ vectơ với S là gốc, A = a, B = b thì E = a/2, H = b/3. Điểm trên EH: a/2 + t(b/3 − a/2); điểm trên AB: a + u(b − a). So sánh hệ số: (1−t)/2 = 1−u và t/3 = u, giải ra t = −3, u = −1. Vậy I nằm trên tia đối của tia AB qua A với AI = AB (tức A là trung điểm IB). Khi đó I ∈ EH ⊂ (CHE) và I ∈ AB ⊂ (ABD), lại có C ∈ (CHE) ∩ (ABD). Vậy giao tuyến của (CHE) và (ABD) là đường thẳng CI.
b) Tìm giao điểm K của CH và (SAD). Dùng vectơ: S là gốc, A = a, B = b, D = d, do ABCD là hình chữ nhật nên C = b + d − a. Điểm trên CH: (1−t)C + tH = (1−t)(b + d − a) + (t/3)b. Để điểm thuộc (SAD) = mặt phẳng qua S tạo bởi a, d thì hệ số của b phải bằng 0: (1−t) + t/3 = 0 ⟹ t = 3/2. Khi đó K = −1/2(d − a) = (a − d)/2, tức K nằm trên đường thẳng AD, phía ngoài đoạn AD về phía A, với AK = 1/2 AD (A nằm giữa K và D). Vậy giao điểm của CH và (SAD) là điểm K trên tia đối của tia AD qua A sao cho AK = 1/2 AD.
Kiểm tra lại: với t = 3/2, K = (1 − 3/2)C + (3/2)H = −1/2(b + d − a) + (3/2)(b/3) = −b/2 − d/2 + a/2 + b/2 = (a − d)/2, đúng thuộc mặt phẳng (SAD) vì là tổ hợp của a và d.