Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, $AD\parallel BC$, $AD=AB=4$, $BC=8$, $△SAD$ đều. Gọi $Q$ là một điểm bất kì trên đoạn $SB$ ($Q$ không trùng với $S$ và $B$). Qua $Q$ dựng mặt phẳng $(\alpha )$ song song với $SA$ và $AD$. Biết $(\alpha )$ cắt $AB,CD,SC$ lần lượt tại $M,N,P$. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác $MNPQ$. (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A=(0;0;0)$, $D=(4;0;0)$, $B=(b;h;0)$, $C=(b+8;h;0)$ với $b^2+h^2=16$ (không cần biết dạng cụ thể hình thang), tam giác $SAD$ đều cạnh 4 nên $S=(2;0;2\sqrt{3})$.

Mặt phẳng $(SAD)$ có phương trình $y=0$, nên $(\alpha )$ qua $Q\in SB$ và song song với $(SAD)$ là mặt phẳng $y=y_Q$. Đặt $t=\frac{BQ}{BS}\in (0;1)$, khi đó $y_Q=(1-t)h$ và
$$Q=(b(1-t)+2t;(1-t)h;2\sqrt{3}t).$$

Tìm các giao điểm:
- $(\alpha )\cap AB=M$: $M=A+(1-t)(B-A)=((1-t)b;(1-t)h;0)$, suyrosis $MQ\parallel SA$, $MQ=4t$.
- $(\alpha )\cap CD=N$: $N=(4+(1-t)(b+4);(1-t)h;0)$, suyrosis $MN\parallel AD$, $MN=4(2-t)$.
- $(\alpha )\cap SC=P$: $P=S+(1-t)(C-S)=(2+(1-t)(b+6);(1-t)h;2\sqrt{3}t)$, suyrosis $QP\parallel BC$, $QP=8(1-t)$; đồng thời $NP=4t$.

Vậy $MNPQ$ là hình thang với hai đáy $MN=4(2-t)$, $QP=8(1-t)$ song song (cùng song song với $AD$), hai cạnh bên $QM=NP=4t$. Các đỉnh đều có tung độ $y=(1-t)h$ nên tứ giác nằm trong mặt phẳng đó; chiếu lên mặt phẳng tọa độ $(x,z)$ và dùng công thức diện tích (shoelace):
$$S_{MNPQ}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}t[x_N+x_P-x_Q-x_M]=\sqrt{3}t(16-12t)=4\sqrt{3}t(4-3t).$$
(Kết quả không phụ thuộc tham số $b$ của hình thang.)

Xét $f(t)=16t-12t^2$ trên $(0;1)$: $f^{\prime }(t)=16-24t=0\Rightarrow t=\frac{2}{3}$, $f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{32}{3}-\frac{16}{3}=\frac{16}{3}$.

Vậy $\max S_{MNPQ}=\frac{16\sqrt{3}}{3}\approx 9,24$.