Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AD=a$, $AB=2a$, $BC=3a$. Mặt bên $SAB$ là tam giác đều và vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Chọn C.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB\Rightarrow SH\perp AB\Rightarrow SH\perp (ABCD)$.
Trong $(ABCD)$, gọi $K=BA\cap CD\Rightarrow KA=AH=HB=a$.
Gọi $J$ là trung điểm của $CD\Rightarrow HJ=2a$.
Ta có $d(A;(SCD))=\frac{1}{2}d(H;(SCD))$.
$\Delta KHJ$ vuông cân tại $H$ nên $HD\perp KJ$, đồng thời $SH\perp KJ\Rightarrow KJ\perp (SHD)$.
Trong $(SHD)$, dựng $HI\perp SD$ ($I\in SD$) $\Rightarrow HI\perp (SCD)\Rightarrow HI=d(H;(SCD))$.
Vì tam giác $SAB$ đều cạnh $2a$ nên $SH=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
$HD=\sqrt{A{H}^2+A{D}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.
$$HI=\frac{SH\cdot HD}{\sqrt{S{H}^2+H{D}^2}}=\frac{a\sqrt{3}\cdot a\sqrt{2}}{\sqrt{3a^2+2a^2}}=\frac{a\sqrt{6}}{\sqrt{5}}=\frac{a\sqrt{30}}{5}.$$
Vậy $d(A;(SCD))=\frac{1}{2}HI=\frac{a\sqrt{30}}{10}$.