Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên:


Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình $f(2x^3-6x+2)=2m-1$ có $6$ nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[-1;2]$?

Chọn D.
Đặt $t=2x^3-6x+2$ (*).
Xét hàm số $t(x)$ trên $[-1;2]$: $t^{\prime }=6x^2-6=0\iff x=\pm 1$.
$t(-1)=6$, $t(1)=-2$, $t(2)=6$.
Với một giá trị $t\in (-2;6)$ thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $x\in [-1;2]$.
Với $t=-2$ hoặc $t=6$ thì có 1 hoặc 2 nghiệm biên.
Để phương trình $f(2x^3-6x+2)=2m-1$ có 6 nghiệm phân biệt $x\in [-1;2]$ thì phương trình $f(t)=2m-1$ phải có đúng 3 nghiệm phân biệt $t\in (-2;6)$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(t)$, ta có điều kiện:
$$0<2m-1<2\iff \frac{1}{2}<m<\frac{3}{2}.$$
Do $m$ nguyên nên có đúng 1 giá trị là $m=1$.