Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA=a$, $SA\perp (ABCD)$, đáy là hình vuông. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ và góc giữa $(SBM)$ và $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(SBM)$ bằng

[IMAGE_1]

Gọi $K$ là hình chiếu của $A$ trên $BM$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SK$.

Do $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp BM$.

$\Rightarrow SA\perp BM$ nên góc giữa $(SBM)$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{SKA}=45^{\circ }$.

$\Rightarrow △SAK$ vuông cân tại $A$ có $SA=a\Rightarrow SK=a\sqrt{2}$.

Ta có: $SA\perp BM$, $AK\perp BM\Rightarrow (SAK)\perp BM\Rightarrow AH\perp BM\Rightarrow AH\perp (SBM)$.

Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(SBM)$ bằng:

$d(D,(SBM))=d(A,(SBM))=AH=\frac{SK}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$