Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $BC$. Tính giá trị $\cos (IJ,CD)$?

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I,J$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $BC$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SBC$, suy ra $IJ\parallel SB$. Do đó $\cos (IJ,CD)=\cos (SB,CD)$.

Đặt cạnh bằng $a$. Vì $SA=SB=SC=SD=a$ nên hình chiếu của $S$ lên đáy là tâm $O$ của hình vuông $ABCD$. Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, khi đó $S\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$ vì $S{O}^2=a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{2}$.

Ta có $\overrightarrow{SB}=\left(\frac{a}{2};-\frac{a}{2};-\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$, $\overrightarrow{CD}=(-a;0;0)$.

$\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{CD}=-\frac{a^2}{2}$, $|\overrightarrow{SB}|=a$, $|\overrightarrow{CD}|=a$.

$$\cos (SB,CD)=\frac{\left|\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{CD}\right|}{|\overrightarrow{SB}||\overrightarrow{CD}|}=\frac{a^2/2}{a^2}=\frac{1}{2}=0,5.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,5$.