Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$, $N$ và $K$ lần lượt là trung điểm $BC$, $CD$ và $SB$. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SMN)$ và $(SBD)$. b) Chứng minh $(OMK)\parallel (SCD)$. c) Gọi $F$ là giao điểm của $DK$ và $(SMN)$. Tính tỉ số $\frac{KF}{KD}$.

a) Xét hai mặt phẳng $(SMN)$ và $(SBD)$ ta có $S\in (SMN)\cap (SBD)$. Lại có $\{\begin{array}{l}MN\subset (SMN)\\ BD\subset (SBD)\\ MN\parallel BD\end{array}$ nên $(SMN)\cap (SBD)=d$ (d qua S và $d\parallel BD\parallel MN$). b) Ta có $OM$ là đường trung bình $△BCD$ nên $OM\parallel CD$ mà $CD\subset (SCD)$ nên $OM\parallel (SCD)$. Lại có $OK$ là đường trung bình $△SBD$ nên $OK\parallel SD$ mà $SD\subset (SCD)$ nên $OK\parallel (SCD)$. Từ đó suy ra $(OMK)\parallel (SCD)$. c) Chọn mặt phẳng $(SBD)$ chứa $DK$. Ta có $(SMN)\cap (SBD)=d$ (d qua S, $d\parallel BD$), trong $(SBD)$ kéo dài $DK$ cắt $d$ tại $F$. Khi đó $F=DK\cap (SMN)$ và $K$ là trung điểm $SD$ nên $\frac{KF}{KD}=1$.