Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$. Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa đường thẳng $AB$ và đi qua trung điểm $M$ của cạnh $SC$ và cắt hình chóp theo thiết diện là một hình đa giác có chu vi bằng $7a$. Tính thể tích của khối nón có đỉnh $S$ và đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn ngoại tiếp của tứ giác $ABCD$.

[IMAGE_1]

Gọi $O=AC\cap BD$, $N$ là trung điểm $SD$ thì $MN$ là đường trung bình của tam giác $SCD$ nên suy ra $MN=\frac{CD}{2}=\frac{2a}{2}=a$ và thiết diện khi cắt hình chóp bởi mặt phẳng $(\alpha )$ là tứ giác $ABMN$ là hình thang cân nên $AN=BM$.

Chu vi của thiết diện là:

$C_{ABMN}=AB+BM+MN+AN=2a+BM+a+AN=3a+BM+AN=7a\Rightarrow BM+AN=4a$.

Suy ra $AN=BM=2a$. Đặt $SB=x$.

Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến vào tam giác $SBC$ ta có:

$B{M}^2=\frac{B{S}^2+B{C}^2}{2}-\frac{S{C}^2}{4}\iff 4a^2=\frac{x^2+4a^2}{2}-\frac{x^2}{4}\iff x^2=8a^2\iff x=2a\sqrt{2}$.

Do đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$ nên $BD=2a\sqrt{2}\Rightarrow r_N=OB=\frac{BD}{2}=a\sqrt{2}$.

Tam giác $SOB$ vuông tại $O$ nên ta có: $h_N=SO=\sqrt{S{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{8a^2-2a^2}=a\sqrt{6}$.

Thể tích hình nón cần tìm là: $V_N=\frac{1}{3}\pi r_N^2{h}_N=\frac{1}{3}\pi (a\sqrt{2}{)}^2\cdot a\sqrt{6}=\frac{2\pi a^3\sqrt{6}}{3}$.