Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số thực $m$ để phương trình $z^2+3z+m^2-2m=0$ có nghiệm phức $z_0$ mà $|z_0|=2$. Tổng tất cả các số trong tập $S$ bằng

Ta có: $\Delta =-4m^2+8m+9$.

+) TH1: $\Delta =-4m^2+8m+9\ge 0\iff \frac{2-\sqrt{13}}{2}\le m\le \frac{2+\sqrt{13}}{2}$ $(1)$.

Khi đó phương trình đã cho có nghiệm thực nên $|z_0|=2\iff [\begin{array}{l}{z}_0=2\\ z_0=-2\end{array}$.

- Với $z_0=2$ thì phương trình đã cho trở thành $m^2-2m+10=0$ (vô nghiệm).
- Với $z_0=-2$ thì phương trình đã cho trở thành $m^2-2m-2=0\iff [\begin{array}{l}m=1-\sqrt{3}\text{ (TM (1))}\\ m=1+\sqrt{3}\text{ (TM (1))}\end{array}$.

+) TH2: $\Delta =-4m^2+8m+9<0\iff [\begin{array}{l}m<\frac{2-\sqrt{13}}{2}\\ m>\frac{2+\sqrt{13}}{2}\end{array}$ $(2)$.

Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phức phân biệt $z_1,z_2$ là hai số phức liên hợp của nhau nên:

$|z_1|=|z_2|=|z_0|=2\Rightarrow |z_1{z}_2|=4\iff m^2-2m=4\iff [\begin{array}{l}m=1-\sqrt{5}\\ m=1+\sqrt{5}\end{array}$ (TM $(2)$).

Vậy $S=\{1-\sqrt{3};1+\sqrt{3};1-\sqrt{5};1+\sqrt{5}\}$ nên tổng các phần tử của tập $S$ bằng $4$.