Cho hình chữ nhật $ABCD$ có tâm $O$ và $M$ là một điểm bất kì.

a) Hãy biểu thị $\overrightarrow{DO}$ theo hai vecto $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$.

b) Chứng minh ${\overrightarrow{MA}}^2+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MO}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4 (1,0 điểm).

a) Vì $O$ là tâm hình chữ nhật $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của $AC$. Ta có:
$$\overrightarrow{DO}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\right)=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.$$
Vậy $\overrightarrow{DO}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$.

b) Vì $O$ là trung điểm $BD$ nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}$. Do đó:
$$\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MB}\cdot \left(2\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{MB}\right)=2\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MO}-{\overrightarrow{MB}}^2.$$
Mặt khác $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}$, với $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0$, suy ra:
$$\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MD}={\overrightarrow{MA}}^2+\overrightarrow{MA}\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right).$$
Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}=-2\overrightarrow{OA}$, ta được:
$$\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MD}={\overrightarrow{MA}}^2-2\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{OA}={\overrightarrow{MA}}^2+2\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{AO}.$$
Cách khác (dùng trung điểm): $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MD}={\left|\overrightarrow{MO}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{OB}\right|}^2$ (đẳng thức trung điểm), và ${\overrightarrow{MA}}^2={\left|\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right|}^2={\left|\overrightarrow{MO}\right|}^2+2\overrightarrow{MO}\cdot \overrightarrow{OA}+{\left|\overrightarrow{OA}\right|}^2$. Vì $O$ là tâm hình chữ nhật nên $OA=OB$, tức ${\left|\overrightarrow{OA}\right|}^2={\left|\overrightarrow{OB}\right|}^2$. Do đó:
$${\overrightarrow{MA}}^2+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MD}={\left|\overrightarrow{MO}\right|}^2+2\overrightarrow{MO}\cdot \overrightarrow{OA}+{\left|\overrightarrow{OA}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{MO}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{OB}\right|}^2=2{\left|\overrightarrow{MO}\right|}^2+2\overrightarrow{MO}\cdot \overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{MO}\cdot \left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)=2\overrightarrow{MO}\cdot \overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MO}.$$
Vậy ${\overrightarrow{MA}}^2+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MO}$ (đpcm).