Cho hình hộp $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Một mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh $AD,BC,B^{\prime }{C}^{\prime },A^{\prime }{D}^{\prime }$ lần lượt tại $E,F,G,H$. Chứng minh rằng tứ giác $EFGH$ là hình bình hành.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hai mặt phẳng song song của hình hộp: mặt đáy $(ABCD)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ và hai mặt bên $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\parallel (DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$.

1) Mặt phẳng $(EFG)$ chứa đường thẳng $EF$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$, đồng thời cắt mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ theo giao tuyến $GH$ (vì $G\in B^{\prime }{C}^{\prime }$, $H\in A^{\prime }{D}^{\prime }$ đều thuộc $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$). Theo tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng song song, ta có $EF\parallel GH$.

2) Tương tự, mặt phẳng $(EFG)$ chứa đường thẳng $FG$ nằm trong mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, và cắt mặt phẳng $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ theo giao tuyến $EH$ (vì $E\in AD$, $H\in A^{\prime }{D}^{\prime }$). Mà $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\parallel (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $FG\parallel EH$.

Tứ giác $EFGH$ có $EF\parallel GH$ và $FG\parallel EH$, do đó $EFGH$ là hình bình hành. Đpcm.