Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=AD=a\sqrt{2},A{A}^{\prime }=a$. Tính theo $a$ khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$ và $AC$.

Chọn B.
Vì $AB=AD=a\sqrt{2}$ nên đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt{2}$.
Ta có $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$, do đó $A^{\prime }B\parallel (AC{D}^{\prime })$.
Suy ra $d(A^{\prime }B,AC)=d(A^{\prime }B,(AC{D}^{\prime }))=d(B,(AC{D}^{\prime }))$.
Gọi $O=AC\cap BD$. Vì $O$ là trung điểm $BD$ nên $d(B,(AC{D}^{\prime }))=d(D,(AC{D}^{\prime }))$.
Xét tứ diện vuông $D.AC{D}^{\prime }$ (với $DA,DC,D{D}^{\prime }$ đôi một vuông góc tại $D$):
Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(AC{D}^{\prime })$ thỏa mãn:
$\frac{1}{d^2}=\frac{1}{D{A}^2}+\frac{1}{D{C}^2}+\frac{1}{D{D}^{\prime 2}}=\frac{1}{(a\sqrt{2}{)}^2}+\frac{1}{(a\sqrt{2}{)}^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{2}{a^2}$.
Suy ra $d^2=\frac{a^2}{2}\Rightarrow d=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.