Cho hình lăng trụ $ABC\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$; $I$ và $I^{\prime }$ lần lượt là trung điểm của đoạn $AB$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }$.
a) Chứng minh $A{I}^{\prime }//I{B}^{\prime }$
b) Tìm hình chiếu song song của $C$ theo phương $A{I}^{\prime }$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Dùng vectơ: $\overrightarrow{A{I}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{I}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{I{B}^{\prime }}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Vì $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$, $AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$ (hai đáy lăng trụ) nên $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}$; vì $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$, $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }$ (cạnh bên lăng trụ) nên $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Do đó $\overrightarrow{A{I}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{I{B}^{\prime }}$. Suy ra $\overrightarrow{A{I}^{\prime }}=\overrightarrow{I{B}^{\prime }}$, tức $A{I}^{\prime }\parallel I{B}^{\prime }$ và $A{I}^{\prime }=I{B}^{\prime }$ (đpcm). (Cách khác: tứ giác $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B$ là hình bình hành; $I,I^{\prime }$ là trung điểm của $AB,A^{\prime }{B}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{A{I}^{\prime }}=\overrightarrow{I{B}^{\prime }}$ như trên.)

b) Hình chiếu của $C$ theo phương $A{I}^{\prime }$ trên $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là điểm $M\in (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ sao cho $CM\parallel A{I}^{\prime }$, tức $CM\parallel I{B}^{\prime }$ (theo câu a).

Cách dựng: Xét mặt phẳng $(\beta )$ đi qua $C$ và đường thẳng $I{B}^{\prime }$.
- $(\beta )\cap (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })=I{B}^{\prime }$ (vì $I,B^{\prime }\in (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $C\notin (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$).
- $(\beta )\cap (ABC)$ là đường thẳng $CI$ (vì $C,I\in (ABC)$).
- Vì $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\parallel (ABC)$ nên $(\beta )\cap (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là đường thẳng $d$ đi qua $B^{\prime }$ và song song với $CI$.

Trong mặt phẳng $(\beta )$, qua $C$ kẻ đường thẳng song song với $I{B}^{\prime }$ (tức song song với $A{I}^{\prime }$); đường này cắt $d$ tại $M$ (hai đường này cắt nhau vì $I{B}^{\prime }$ không song song với $CI$: $I{B}^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ cắt $(ABC)$ theo giao tuyến $AB$, còn $CI$ nằm trong $(ABC)$ và không song song với $AB$).

Khi đó $M\in d\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $CM\parallel I{B}^{\prime }\parallel A{I}^{\prime }$. Vậy $M$ là hình chiếu song song của $C$ theo phương $A{I}^{\prime }$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.

Tóm tắt cách vẽ: trong mặt đáy $(ABC)$ kẻ đường thẳng $CI$; qua $B^{\prime }$ kẻ đường thẳng song song với $CI$; qua $C$ kẻ đường thẳng song song với $A{I}^{\prime }$; giao điểm của hai đường này là $M$ — hình chiếu cần tìm.