Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (như hình vẽ). Lấy các điểm $D$, $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$ và điểm $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $(DEB)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }F)$. B. $(EFG)\parallel (BCD)$.
C. $(D{B}^{\prime }{C}^{\prime })\parallel (AEF)$. D. $(DEG)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ: lấy $A$ làm gốc, $\vec{b}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{c}=\overrightarrow{AC}$, $\vec{u}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Khi đó $D=\frac{1}{2}\vec{u}$, $E=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{u}$, $F=\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{u}$, $B^{\prime }=\vec{b}+\vec{u}$, $C^{\prime }=\vec{c}+\vec{u}$, $G=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3}$.

Xét phương án C: $(D{B}^{\prime }{C}^{\prime })\parallel (AEF)$.
- $EF$ là đường trung bình của tam giác $BC{C}^{\prime }$ nên $EF\parallel BC$; mà $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }\subset (D{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ nên $EF\parallel (D{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
- Ta có $\overrightarrow{AE}=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{u}$ và $\overrightarrow{D{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}-\overrightarrow{AD}=(\vec{b}+\vec{u})-\frac{1}{2}\vec{u}=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{u}$. Vậy $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{D{B}^{\prime }}$, tức $AE\parallel D{B}^{\prime }$, với $D{B}^{\prime }\subset (D{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $AE\not\subset (D{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ nên $AE\parallel (D{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.

Mặt phẳng $(AEF)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $AE$ và $EF$ lần lượt song song với $(D{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, do đó $(AEF)\parallel (D{B}^{\prime }{C}^{\prime })$. Phương án C đúng.

Các phương án còn lại sai (kiểm tra bằng vectơ):
- A: $(DEB)$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }F)$: $DE\parallel A{A}^{\prime }$ nhưng không có cặp đường thẳng cắt nhau nào của hai mặt phẳng song song tương ứng ($EB$ nằm trên đường thẳng $B{B}^{\prime }$, $B^{\prime }F$ nằm trên đường thẳng $C{C}^{\prime }$, không song song nhau; $DE$ không song song $A^{\prime }{B}^{\prime }$), hai mặt phẳng này cắt nhau.
- B: $(EFG)$ và $(BCD)$: $\overrightarrow{EG}=\frac{1}{3}\vec{c}-\frac{2}{3}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{u}$ không thể biểu diễn qua $\overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b}$ và $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\vec{u}-\vec{b}$ (hệ số dẫn đến mâu thuẫn $\beta =\frac{1}{2}$ và $\beta =\frac{1}{3}$), nên hai mặt phẳng không song song.
- D: $(DEG)$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }C)$: $\overrightarrow{EG}=\frac{1}{3}\vec{c}-\frac{2}{3}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{u}$ không biểu diễn được qua $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\vec{b}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\vec{c}-\vec{u}$ (mâu thuẫn $\beta =\frac{1}{2}$ và $\beta =\frac{1}{3}$), hai mặt phẳng cắt nhau.