Cho hình lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có chiều cao bằng $2\sqrt{3}$ và có đáy $ABCD$ là hình thoi với số đo góc $\widehat{ABC}$ bằng $60^0$. Biết $A^{\prime }A=A^{\prime }B=A^{\prime }C$, góc phẳng nhị diện $\left[B^{\prime },AB,C\right]$ bằng $45^0$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $C{C}^{\prime }$, kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $A=(0,0,0)$, $B=(a,0,0)$, $C=\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$ (hình thoi, $\widehat{ABC}=60^0$), chiều cao $h=2\sqrt{3}$, $A^{\prime }=(x,y,h)$.

Từ $A^{\prime }A=A^{\prime }B$: $x^2=(x-a{)}^2\Rightarrow x=\frac{a}{2}$. Từ $A^{\prime }A=A^{\prime }C$: ${\left(y-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2=y^2\Rightarrow y=\frac{a\sqrt{3}}{4}$. Vậy $A^{\prime }=\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{4},h\right)$, $B^{\prime }=\left(\frac{3a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{4},h\right)$.

Mặt phẳng $(AB{B}^{\prime })$ chứa trục $AB$ (trục $Ox$) và vectơ $\vec{v}=\left(\frac{3a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{4},h\right)$, nên vectơ pháp tuyến có dạng $\vec{n}=(0,-h,\frac{a\sqrt{3}}{4})$ với độ dài $|\vec{n}|=\sqrt{h^2+\frac{3a^2}{16}}=\sqrt{12+\frac{3a^2}{16}}$.

Góc nhị diện $[B^{\prime },AB,C]=45^0$ là góc giữa $(AB{B}^{\prime })$ và đáy, nên $\cos 45^0=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{12+\frac{3a^2}{16}}}$. Bình phương: $\frac{3a^2}{16}=\frac{1}{2}\left(12+\frac{3a^2}{16}\right)\Rightarrow \frac{3a^2}{32}=6\Rightarrow a^2=64\Rightarrow a=8$.

$C{C}^{\prime }$ song song với trục $Oz$, $AB$ nằm trên trục $Ox$, nên khoảng cách giữa $AB$ và $C{C}^{\prime }$ bằng khoảng cách từ $C$ đến trục $Ox$: $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\approx 6,9$.