Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, cạnh $BC=2a\sqrt{2}$. Góc giữa mặt phẳng $(A{B}^{\prime }C)$ và mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng $60^{\circ }$. Tính thể tích khối lăng trụ.

Chọn D.
[IMAGE:img_q50_geom]

Tam giác $△ABC$ vuông cân tại $A$, cạnh $BC=2a\sqrt{2}$ nên $AB=AC=2a$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$ thì $AM\perp BC\Rightarrow AM\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ và $AM=a\sqrt{2}$.
Hạ $AH\perp B^{\prime }C$, ta có $B^{\prime }C\perp (AHM)$ nên góc giữa mặt phẳng $(A{B}^{\prime }C)$ và mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là góc $\widehat{AHM}=60^{\circ }$.
Suy ra $HM=\frac{AM}{\tan 60^{\circ }}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
Hạ $BK\perp B^{\prime }C$ thì $BK=2HM=\frac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
Xét tam giác vuông $△B^{\prime }BC$ có $BK$ là đường cao:
$\frac{1}{B{B}^{\prime 2}}=\frac{1}{B{K}^2}-\frac{1}{B{C}^2}=\frac{3}{8a^2}-\frac{1}{8a^2}=\frac{2}{8a^2}=\frac{1}{4a^2}\Rightarrow B{B}^{\prime }=2a.$
Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
$V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=B{B}^{\prime }\cdot S_{ABC}=2a\cdot \left[\frac{1}{2}(2a{)}^2\right]=4a^3.$