Cho các số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1-1-i|=\sqrt{2}$, $|z_2|=|z_2+1+i|$ và $\frac{z_2-z_1}{1-2i}$ là số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z_1-z_2|$.

Chọn A.
Đặt $z_1=a+bi$ và $z_2=c+di$ với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$.
- Ta có $|z_1-1-i|=\sqrt{2}\iff (a-1{)}^2+(b-1{)}^2=2\iff a^2+b^2=2a+2b$ (1).
- Ta có $|z_2|=|z_2+1+i|\iff c^2+d^2=(c+1{)}^2+(d+1{)}^2\iff c+d+1=0\iff c=-d-1$.
- $\frac{z_2-z_1}{1-2i}$ là số thực $\iff (z_2-z_1)(1+2i)=(\overline{z_2}-\overline{z_1})(1-2i)\iff 2a+b=2c+d$.
Thay $c=-d-1$ vào ta được $d=-2a-b-2$ và $c=2a+b+1$.
Khi đó:
$P=|z_1-z_2|=\sqrt{(a+b+1{)}^2+(2a+2b+2{)}^2}=\sqrt{5}|a+b+1|.$
Từ (1), áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
$(a+b{)}^2\le 2(a^2+b^2)=4(a+b)\iff 0\le a+b\le 4\Rightarrow 1\le a+b+1\le 5.$
Vậy $\sqrt{5}\le P\le 5\sqrt{5}$. Giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\sqrt{5}$ khi $z_1=0$ và $z_2=1-2i$.