Cho hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là một tam giác vuông cân tại $B$, $AB=A{A}^{\prime }=2a$, $M$ là trung điểm cạnh $BC$.

a) Vì $CB\perp AB,CB\perp B{B}^{\prime }\Rightarrow CB\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\Rightarrow d\left(C,(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\right)=CB=2a$. Chọn ĐÚNG.

b) Gọi $O=A{B}^{\prime }\cap A^{\prime }B\Rightarrow AO\perp A^{\prime }B$; lại có $CB\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\Rightarrow CB\perp AO$, suy ra $AO\perp (A^{\prime }BC)\Rightarrow d\left(A,(A^{\prime }BC)\right)=AO=a\sqrt{2}$. Chọn SAI.

c) Gọi $D$ là trung điểm $AC$, kẻ $BK\perp B^{\prime }D$; $AC\perp (BD{B}^{\prime })\Rightarrow AC\perp BK$, suy ra $BK\perp (B^{\prime }AC)$. Xét tam giác B'DB: $\frac{1}{B{K}^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{4a^2}=\frac{3}{4a^2}\Rightarrow BK=\frac{2\sqrt{3}a}{3}$. Chọn SAI.



d) Gọi $N$ là trung điểm $B{B}^{\prime }\Rightarrow MN//B^{\prime }C\Rightarrow B^{\prime }C//(AMN)$, khi đó $d(AM,B^{\prime }C)=d\left(C,(AMN)\right)$. Tứ diện $BAMN$ có $BA,BM,BN$ đôi một vuông góc nên $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{B{A}^2}+\frac{1}{B{M}^2}+\frac{1}{B{N}^2}=\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{9}{4a^2}\Rightarrow h=\frac{2a}{3}$. Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $B^{\prime }C$ bằng $\frac{2a}{3}$. Chọn SAI.


a) Vì $CB\perp AB,CB\perp B{B}^{\prime }\Rightarrow CB\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\Rightarrow d\left(C,(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\right)=CB=2a$. Chọn ĐÚNG.
b) Vì $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình vuông, gọi $O=A{B}^{\prime }\cap A^{\prime }B\Rightarrow AO\perp A^{\prime }B$ (1). Theo chứng minh trên có $CB\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\Rightarrow CB\perp AO$ (2). Từ $(1),(2)\Rightarrow AO\perp (A^{\prime }BC)\Rightarrow d\left(A,(A^{\prime }BC)\right)=AO=a\sqrt{2}$. Chọn SAI.
c) Gọi $D$ là trung điểm cạnh $AC$, kẻ $BK\perp B^{\prime }D$ (3). Vì $\{\begin{array}{l}AC\perp BD\\ AC\perp B{B}^{\prime }\end{array}\Rightarrow AC\perp (BD{B}^{\prime })\Rightarrow AC\perp BK$ (4). Từ $(3),(4)\Rightarrow BK\perp (B^{\prime }AC)\Rightarrow d\left(B,(B^{\prime }AC)\right)=BK$. Xét trong tam giác B'DB, $\frac{1}{B{K}^2}=\frac{1}{B{D}^2}+\frac{1}{B{B}^{\prime 2}}=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{4a^2}=\frac{3}{4a^2}$ $\Rightarrow BK=d\left(B,(AC{B}^{\prime })\right)=\frac{2\sqrt{3}a}{3}$. Chọn SAI.
d) Gọi $N$ là trung điểm $B{B}^{\prime }\Rightarrow MN//B^{\prime }C\Rightarrow B^{\prime }C//(AMN)$. Khi đó $d(AM,B^{\prime }C)=d\left(B^{\prime }C,(AMN)\right)=d\left(C,(AMN)\right)$. Ta có $BC\cap (AMN)=M$ và $MB=MC$ nên $d\left(C,(ABM)\right)=d\left(B,(ABM)\right)$. Gọi $h$ là khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(ABM)$. Tứ diện $BAMN$ có $BA,BM,BN$ đôi một vuông góc nên: $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{B{H}^2}=\frac{1}{B{A}^2}+\frac{1}{B{M}^2}+\frac{1}{B{N}^2}$. $AB=2a=BC$. $BN=\frac{1}{2}B{B}^{\prime }=\frac{1}{2}A{A}^{\prime }=\frac{2a}{2}=a$. $BM=\frac{1}{2}BC=a$. Suy ra $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{9}{4a^2}\Rightarrow h^2=\frac{4a^2}{9}\Rightarrow h=\frac{2a}{3}$. Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $B^{\prime }C$ bằng $\frac{2a}{3}$. Chọn SAI.