Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $2a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $P,Q$ lần lượt là tâm các mặt $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ và $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$. Thể tích khối tứ diện $MNPQ$ bằng

Gọi $I$ là trung điểm của $MN$. Do $P,Q$ là tâm các hình chữ nhật $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ và $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ nên $PQ\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$ và khoảng cách từ $P,Q$ đến mặt phẳng trung trực của $MN$ bằng nhau.
Độ dài $MN=B{B}^{\prime }=2a$.
Đoạn nối tâm hai mặt bên $PQ=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $PQ$ bằng khoảng cách từ trung điểm của $PQ$ đến mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, tức là đường cao $AM$ của tam giác đều $ABC$ nhân tỉ lệ $\frac{1}{2}$:
$d=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
Vì $MN\perp PQ$ nên thể tích khối tứ diện $MNPQ$ là:
$V_{MNPQ}=\frac{1}{6}MN\cdot PQ\cdot d\cdot \sin 90^{\circ }=\frac{1}{6}\cdot 2a\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$.