Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $A{A}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }$; đường thẳng $CE$ cắt đường thẳng $C^{\prime }{A}^{\prime }$ tại $E^{\prime }$, đường thẳng $CF$ cắt đường thẳng $C^{\prime }{B}^{\prime }$ tại $F^{\prime }$. Thể tích của khối đa diện $A^{\prime }E{E}^{\prime }{B}^{\prime }F{F}^{\prime }$ bằng

Lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh 1, diện tích $S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}$, chiều cao $h=A{A}^{\prime }=1$.
Thể tích khối lăng trụ:
$V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=S_{\Delta ABC}\cdot h=\frac{\sqrt{3}}{4}.$



Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, suy ra $CM\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $CM=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Hình thang $ABFE$ nằm trên mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ có đáy $AB=1$, $EF=1$, chiều cao $AE=\frac{1}{2}$.
Diện tích $S_{ABFE}=1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.
Thể tích khối chóp $C.ABFE$ là:
$V_{C.ABFE}=\frac{1}{3}{S}_{ABFE}\cdot CM=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{12}.$
Do đó thể tích khối đa diện $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }EFC$ là:
$V_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }EFC}=V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}-V_{C.ABFE}=\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{6}.$
Mặt khác, xét trong mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$:
$E$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ nên theo định lý Thales, $A^{\prime }$ là trung điểm của $C^{\prime }{E}^{\prime }$. Tương tự, $B^{\prime }$ là trung điểm của $C^{\prime }{F}^{\prime }$.
Suy ra tam giác $C^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }$ đồng dạng với tam giác $C^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ theo tỉ số 2, do đó:
$S_{\Delta C^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }}=4S_{\Delta C^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }}=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}.$
Thể tích khối chóp $C.C^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }$ có chiều cao $d(C,(C^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }))=C{C}^{\prime }=1$ là:
$V_{C.C^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta C^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }}\cdot C{C}^{\prime }=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}}{3}.$
Vậy thể tích khối đa diện $A^{\prime }E{E}^{\prime }{B}^{\prime }F{F}^{\prime }$ chính là phần bù giữa hai khối chóp $C.C^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }$ và đa diện $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }EFC$:
$V_{A^{\prime }E{E}^{\prime }{B}^{\prime }F{F}^{\prime }}=V_{C.C^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }}-V_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }EFC}=\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6}.$