Cho hình lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $a$ và góc giữa $A^{\prime }B$ và mặt phẳng $(A^{\prime }AC{C}^{\prime })$ bằng $30^{\circ }$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Vì đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $BO\perp AC$ và $BO\perp A{A}^{\prime }$, suy ra $BO\perp (A^{\prime }AC{C}^{\prime })$.
Do đó góc giữa $A^{\prime }B$ và $(A^{\prime }AC{C}^{\prime })$ là góc $\widehat{B{A}^{\prime }O}=30^{\circ }$.
Ta có $BO=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Trong tam giác vuông $A^{\prime }OB$ tại $O$:
$A^{\prime }B=\frac{BO}{\sin 30^{\circ }}=\frac{a\sqrt{2}/2}{1/2}=a\sqrt{2}.$
Trong tam giác vuông $A^{\prime }AB$ tại $A$:
$A^{\prime }A=\sqrt{A^{\prime }{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{(a\sqrt{2}{)}^2-a^2}=a.$
Thể tích khối lăng trụ: $V=S_{ABCD}\cdot A^{\prime }A=a^2\cdot a=a^3$.
Chọn A.