Cho hàm số $y=f(x)$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

Giá trị lớn nhất của hàm số $g(x)=f(2x)-{\sin }^{2}x$ trên đoạn $[-1;1]$ bằng

Ta có $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(2x)-2\sin x\cos x=2f^{\prime }(2x)-\sin 2x$.
Đặt $t=2x$, với $x\in [-1;1]\Rightarrow t\in [-2;2]$.
Xét $h(t)=2f^{\prime }(t)-\sin t$.
Từ bảng biến thiên của $f^{\prime }(t)$ trên $[-2;2]$:
- Khi $t\in [-2;0]$, $f^{\prime }(t)\ge 0$ và $\sin t\le 0$, suy ra $h(t)=2f^{\prime }(t)-\sin t\ge 0$, do đó $g^{\prime }(x)\ge 0$ với mọi $x\in [-1;0]$.
- Khi $t\in [0;2]$, $f^{\prime }(t)\le 0$ và $\sin t\ge 0$, suy ra $h(t)\le 0$, do đó $g^{\prime }(x)\le 0$ với mọi $x\in [0;1]$.
Do đó $g(x)$ đồng biến trên $[-1;0]$ và nghịch biến trên $[0;1]$.
Vậy giá trị lớn nhất của $g(x)$ trên $[-1;1]$ đạt tại $x=0$, bằng $g(0)=f(0)-{\sin }^{2}0=f(0)$.
Chọn C.